График функции y = x^3/3-11/2*x^2+30*x+2

Вы ввели

        3       2           
       x    11*x            
f(x) = -- - ----- + 30*x + 2
       3      2             

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{7077} + \frac{18171}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{27 \sqrt{7077} + \frac{18171}{8}}} + \frac{11}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.0658680806410847$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 - 11*x^2/2 + 30*x + 2.
$$\frac{0^{3}}{3} - \frac{11 \cdot 0^{2}}{2} + 30 \cdot 0 + 2$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} - 11 x + 30 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:

(5, 337/6)

(6, 56)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[5, 6\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x - 11 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{11}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{11}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 11*x^2/2 + 30*x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2 = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} - 30 x + 2$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x + 2 = \frac{x^{3}}{3} + \frac{11 x^{2}}{2} + 30 x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График