График функции y = x^3/3-7*x^2/2+12*x-3

Вы ввели

        3      2           
       x    7*x            
f(x) = -- - ---- + 12*x - 3
       3     2             

$$f{\left (x \right )} = 12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{434}}{4} + \frac{3375}{8}} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{434}}{4} + \frac{3375}{8}}} + \frac{7}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.270843698652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 - 7*x^2/2 + 12*x - 3.
$$-3 + \frac{0^{3}}{3} - 0 + 0 \cdot 12$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:

(0, -3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} - 7 x + 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, 21/2)

(4, 31/3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

[3, 4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 x - 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[7/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 7/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 7*x^2/2 + 12*x - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3 = - \frac{x^{3}}{3} - 12 x - \frac{7 x^{2}}{2} - 3$$
- Нет
$$12 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} - 3 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - - 12 x - - \frac{7 x^{2}}{2} + 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной