График функции y = ((x^3-9*x^2)/4)+(6*x-9)

Вы ввели

        3      2          
       x  - 9*x           
f(x) = --------- + 6*x - 9
           4              

$$f{\left (x \right )} = 6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 6$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 9*x^2)/4 + 6*x - 9.
$$-9 + 0 \cdot 6 + \frac{1}{4} \left(0^{3} - 0\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -9$$
Точка:

(0, -9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{2} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, -4)

(4, -5)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках

(-oo, 2] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

[2, 4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{2} \left(3 x - 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 9*x^2)/4 + 6*x - 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = - \frac{x^{3}}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 9$$
- Нет
$$6 x - 9 + \frac{1}{4} \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = - \frac{-1 x^{3}}{4} - - \frac{9 x^{2}}{4} - - 6 x + 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной