График функции y = (x^3+2*x)/(x^2-9)

Вы ввели

        3      
       x  + 2*x
f(x) = --------
         2     
        x  - 9 

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{3} + 2 x}{x^{2} - 9}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 + 2*x)/(x^2 - 9).
$$\frac{0^{3} + 0 \cdot 2}{-9 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x \left(x^{3} + 2 x\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{29}{2} + \frac{\sqrt{913}}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{29}{2} + \frac{\sqrt{913}}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                       3/2          ______________ 
                         /       _____\            /        _____  
       ______________    |29   \/ 913 |           /  29   \/ 913   
      /        _____   - |-- + -------|    - 2*  /   -- + -------  
     /  29   \/ 913      \2       2   /        \/    2       2     
(-  /   -- + -------, -------------------------------------------)
  \/    2       2                             _____                
                                       11   \/ 913                 
                                       -- + -------                
                                       2       2                   

                                    3/2          ______________ 
                      /       _____\            /        _____  
      ______________  |29   \/ 913 |           /  29   \/ 913   
     /        _____   |-- + -------|    + 2*  /   -- + -------  
    /  29   \/ 913    \2       2   /        \/    2       2     
(  /   -- + -------, -----------------------------------------)
 \/    2       2                            _____               
                                     11   \/ 913                
                                     -- + -------               
                                     2       2                  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \sqrt{\frac{29}{2} + \frac{\sqrt{913}}{2}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{29}{2} + \frac{\sqrt{913}}{2}}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(29/2 + sqrt(913)/2)] U [sqrt(29/2 + sqrt(913)/2), oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(29/2 + sqrt(913)/2), sqrt(29/2 + sqrt(913)/2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 9} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + 3 - \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2} + 4}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 9} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + 3 - \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2} + 4}{x^{2} - 9}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 9} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + 3 - \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2} + 4}{x^{2} - 9}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 9} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + 3 - \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2} + 4}{x^{2} - 9}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x}{x^{2} - 9} \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + 3 - \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2} + 4}{x^{2} - 9}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках

[0, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 + 2*x)/(x^2 - 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2} - 9} = \frac{- x^{3} - 2 x}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2} - 9} = - \frac{- x^{3} - 2 x}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной