График функции y = x^3+5*sqrt(x)+7

Вы ввели

        3       ___    
f(x) = x  + 5*\/ x  + 7

$$f{\left(x \right)} = \left(5 \sqrt{x} + x^{3}\right) + 7$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$5 \sqrt{x} + x^{3} + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 5*sqrt(x) + 7.
$$\left(0^{3} + 5 \sqrt{0}\right) + 7$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 7$$
Точка:

(0, 7)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} + \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 x - \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\sqrt[5]{432} \cdot 5^{\frac{2}{5}}}{12}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\sqrt[5]{432} \cdot 5^{\frac{2}{5}}}{12}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[5]{432} \cdot 5^{\frac{2}{5}}}{12}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(5 \sqrt{x} + x^{3}\right) + 7\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(5 \sqrt{x} + x^{3}\right) + 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 5*sqrt(x) + 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \sqrt{x} + x^{3}\right) + 7}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \sqrt{x} + x^{3}\right) + 7}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(5 \sqrt{x} + x^{3}\right) + 7 = - x^{3} + 5 \sqrt{- x} + 7$$
- Нет
$$\left(5 \sqrt{x} + x^{3}\right) + 7 = x^{3} - 5 \sqrt{- x} - 7$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График