График функции y = 2*log(x/(x-2))-1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
            /  x  \    
f(x) = 2*log|-----| - 1
            \x - 2/    
$$f{\left (x \right )} = 2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{2 e^{\frac{1}{2}}}{-1 + e^{\frac{1}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.08298816507$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*log(x/(x - 2)) - 1.
$$2 \log{\left (\frac{0}{-2} \right )} - 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{x} \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{x - 2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x} \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2}{x} \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2}{x} \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*log(x/(x - 2)) - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1 = 2 \log{\left (- \frac{x}{- x - 2} \right )} - 1$$
- Нет
$$2 \log{\left (\frac{x}{x - 2} \right )} - 1 = - 2 \log{\left (- \frac{x}{- x - 2} \right )} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной