График y = f(x) = cos(x)*sin(x) (косинус от (х) умножить на синус от (х)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = cos(x)*sin(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = cos(x)*sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 34.5575191894877$$
$$x_{3} = -53.4070751110265$$
$$x_{4} = -89.5353906273091$$
$$x_{5} = -40.8407044966673$$
$$x_{6} = -1.5707963267949$$
$$x_{7} = -97.3893722612836$$
$$x_{8} = -59.6902604182061$$
$$x_{9} = 95.8185759344887$$
$$x_{10} = -80.1106126665397$$
$$x_{11} = -61.261056745001$$
$$x_{12} = 87.9645943005142$$
$$x_{13} = -48.6946861306418$$
$$x_{14} = -64.4026493985908$$
$$x_{15} = 37.6991118430775$$
$$x_{16} = -7.85398163397448$$
$$x_{17} = -72.2566310325652$$
$$x_{18} = -20.4203522483337$$
$$x_{19} = 4.71238898038469$$
$$x_{20} = 23.5619449019235$$
$$x_{21} = -42.4115008234622$$
$$x_{22} = 73.8274273593601$$
$$x_{23} = 20.4203522483337$$
$$x_{24} = 86.3937979737193$$
$$x_{25} = 67.5442420521806$$
$$x_{26} = -94.2477796076938$$
$$x_{27} = -15.707963267949$$
$$x_{28} = 72.2566310325652$$
$$x_{29} = -21.9911485751286$$
$$x_{30} = -73.8274273593601$$
$$x_{31} = 81.6814089933346$$
$$x_{32} = 50.2654824574367$$
$$x_{33} = -23.5619449019235$$
$$x_{34} = 51.8362787842316$$
$$x_{35} = -28.2743338823081$$
$$x_{36} = -37.6991118430775$$
$$x_{37} = 89.5353906273091$$
$$x_{38} = 59.6902604182061$$
$$x_{39} = 43.9822971502571$$
$$x_{40} = 26.7035375555132$$
$$x_{41} = -67.5442420521806$$
$$x_{42} = 58.1194640914112$$
$$x_{43} = -36.1283155162826$$
$$x_{44} = -86.3937979737193$$
$$x_{45} = -17.2787595947439$$
$$x_{46} = -65.9734457253857$$
$$x_{47} = 45.553093477052$$
$$x_{48} = -6.28318530717959$$
$$x_{49} = 7.85398163397448$$
$$x_{50} = -14.1371669411541$$
$$x_{51} = -83.2522053201295$$
$$x_{52} = 1.5707963267949$$
$$x_{53} = -75.398223686155$$
$$x_{54} = -31.4159265358979$$
$$x_{55} = 64.4026493985908$$
$$x_{56} = -119.380520836412$$
$$x_{57} = 80.1106126665397$$
$$x_{58} = 94.2477796076938$$
$$x_{59} = 78.5398163397448$$
$$x_{60} = -29.845130209103$$
$$x_{61} = -81.6814089933346$$
$$x_{62} = 48.6946861306418$$
$$x_{63} = 70.6858347057703$$
$$x_{64} = 31.4159265358979$$
$$x_{65} = 113.097335529233$$
$$x_{66} = 92.6769832808989$$
$$x_{67} = 36.1283155162826$$
$$x_{68} = -45.553093477052$$
$$x_{69} = 29.845130209103$$
$$x_{70} = -87.9645943005142$$
$$x_{71} = 15.707963267949$$
$$x_{72} = -39.2699081698724$$
$$x_{73} = 590.619418874881$$
$$x_{74} = -58.1194640914112$$
$$x_{75} = -50.2654824574367$$
$$x_{76} = 12.5663706143592$$
$$x_{77} = 42.4115008234622$$
$$x_{78} = -43.9822971502571$$
$$x_{79} = -51.8362787842316$$
$$x_{80} = -9.42477796076938$$
$$x_{81} = 14.1371669411541$$
$$x_{82} = 65.9734457253857$$
$$x_{83} = 21.9911485751286$$
$$x_{84} = -95.8185759344887$$
$$x_{85} = 100.530964914873$$
$$x_{86} = 28.2743338823081$$
$$x_{87} = 6.28318530717959$$
$$x_{88} = -483.805268652828$$
$$x_{89} = 56.5486677646163$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)*sin(x).
$$\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
 -pi        
(----, -1/2)
  4         

 pi      
(--, 1/2)
 4       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График
График функции y = cos(x)*sin(x) /media/krcore-image-pods/b/a6/7b6e3f4dc73c8ee1b3e2e2f40033b.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: