График функции y = 3*sin(2*x)-pi/2+1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                    pi    
f(x) = 3*sin(2*x) - -- + 1
                    2     
$$f{\left (x \right )} = 3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{6} \left(- \pi + 2\right) \right )} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (- \frac{\pi}{6} + \frac{1}{3} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -51.9319950447$$
$$x_{2} = 58.023747831$$
$$x_{3} = 86.2980817133$$
$$x_{4} = 94.3434958681$$
$$x_{5} = 48.5989698702$$
$$x_{6} = -111.622255463$$
$$x_{7} = 100.626681175$$
$$x_{8} = -78.4441000793$$
$$x_{9} = -37.6033955826$$
$$x_{10} = -1.66651258722$$
$$x_{11} = 34.6532354499$$
$$x_{12} = -67.6399583126$$
$$x_{13} = 72.352347293$$
$$x_{14} = 29.7494139487$$
$$x_{15} = -17.3744758552$$
$$x_{16} = 78.6355326002$$
$$x_{17} = -87.8688780401$$
$$x_{18} = -59.5945441578$$
$$x_{19} = 26.6078212951$$
$$x_{20} = 51.7405625238$$
$$x_{21} = -61.3567730054$$
$$x_{22} = -23.6576611624$$
$$x_{23} = 56.644384025$$
$$x_{24} = 64.3069331382$$
$$x_{25} = 89.4396743669$$
$$x_{26} = -29.9408464695$$
$$x_{27} = -75.3025074257$$
$$x_{28} = 37.7948281035$$
$$x_{29} = -95.9142921949$$
$$x_{30} = 15.8036795284$$
$$x_{31} = -21.8954323147$$
$$x_{32} = 59.7859766786$$
$$x_{33} = 42.315784563$$
$$x_{34} = -43.8865808898$$
$$x_{35} = -83.3479215806$$
$$x_{36} = -20.5160685088$$
$$x_{37} = 36.0325992559$$
$$x_{38} = 45.4573772166$$
$$x_{39} = -42.5072170839$$
$$x_{40} = 88.0603105609$$
$$x_{41} = -94.1520633473$$
$$x_{42} = -53.3113588506$$
$$x_{43} = -100.435248654$$
$$x_{44} = -45.6488097375$$
$$x_{45} = -28.1786176219$$
$$x_{46} = -36.2240317767$$
$$x_{47} = 14.0414506807$$
$$x_{48} = -80.206328927$$
$$x_{49} = -65.877729465$$
$$x_{50} = -58.2151803518$$
$$x_{51} = -81.5856927329$$
$$x_{52} = 70.5901184453$$
$$x_{53} = 44.0780134107$$
$$x_{54} = -56.4529515042$$
$$x_{55} = 73.7317110989$$
$$x_{56} = -86.4895142341$$
$$x_{57} = -64.498365659$$
$$x_{58} = 28.3700501427$$
$$x_{59} = 12.6620868748$$
$$x_{60} = -7.9496978944$$
$$x_{61} = 92.5812670205$$
$$x_{62} = -72.1609147721$$
$$x_{63} = 50.3611987179$$
$$x_{64} = -97.2936560009$$
$$x_{65} = 67.4485257918$$
$$x_{66} = -50.169766197$$
$$x_{67} = 23.4662286415$$
$$x_{68} = 1.47508006637$$
$$x_{69} = 6.37890156761$$
$$x_{70} = 20.3246359879$$
$$x_{71} = -18.7538396611$$
$$x_{72} = -31.3202102755$$
$$x_{73} = 22.0868648356$$
$$x_{74} = 81.7771252538$$
$$x_{75} = 66.0691619858$$
$$x_{76} = 95.7228596741$$
$$x_{77} = -73.9231436198$$
$$x_{78} = -9.32906170034$$
$$x_{79} = -6.18746904675$$
$$x_{80} = -15.6122470075$$
$$x_{81} = 4.61667271996$$
$$x_{82} = -39.3656244303$$
$$x_{83} = -14.2328832016$$
$$x_{84} = 7.75826537355$$
$$x_{85} = 0.0957162604292$$
$$x_{86} = -89.6311068877$$
$$x_{87} = 80.0148964061$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*sin(2*x) - pi/2 + 1.
$$- \frac{\pi}{2} + 3 \sin{\left (0 \cdot 2 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{\pi}{2} + 1$$
Точка:
(0, 1 - pi/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
 pi      pi 
(--, 4 - --)
 4       2  

 3*pi       pi 
(----, -2 - --)
  4         2  


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках
[pi/4, 3*pi/4]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 12 \sin{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0] U [pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках
[0, pi/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1\right) = \langle -2, 4\rangle - \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 4\rangle - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1\right) = \langle -2, 4\rangle - \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 4\rangle - \frac{\pi}{2}$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*sin(2*x) - pi/2 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1 = - 3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1$$
- Нет
$$3 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\pi}{2} + 1 = - -1 \cdot 3 \sin{\left (2 x \right )} - 1 - - \frac{\pi}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной