График функции y = (4-5*x-3*x^2)/(4*x-3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                    2
       4 - 5*x - 3*x 
f(x) = --------------
          4*x - 3    
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{4 x - 3} \left(- 3 x^{2} + - 5 x + 4\right)$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0.75$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{4 x - 3} \left(- 3 x^{2} + - 5 x + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{73}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{73}}{6} - \frac{5}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.25733395755$$
$$x_{2} = 0.590667290886$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4 - 5*x - 3*x^2)/(4*x - 3).
$$\frac{- 0 + - 0 + 4}{-3 + 0 \cdot 4}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{4}{3}$$
Точка:
(0, -4/3)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 6 x - 5}{4 x - 3} - \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{2}} \left(- 12 x^{2} + 4 \left(- 5 x + 4\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{69}}{12} + \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{69}}{12} + \frac{3}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
                     /                  2           \  
                     |      /      ____\        ____|  
                ____ |1     |3   \/ 69 |    5*\/ 69 |  
       ____  -\/ 69 *|- - 3*|- - ------|  + --------|  
 3   \/ 69           \4     \4     12  /       12   /  
(- - ------, -----------------------------------------)
 4     12                        23                    

                    /                  2           \ 
                    |      /      ____\        ____| 
               ____ |1     |3   \/ 69 |    5*\/ 69 | 
       ____  \/ 69 *|- - 3*|- + ------|  - --------| 
 3   \/ 69          \4     \4     12  /       12   / 
(- + ------, ---------------------------------------)
 4     12                       23                   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{69}}{12} + \frac{3}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{69}}{12} + \frac{3}{4}$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(69)/12 + 3/4, sqrt(69)/12 + 3/4]

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(69)/12 + 3/4] U [sqrt(69)/12 + 3/4, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{4 x - 3} \left(-6 + \frac{48 x + 40}{4 x - 3} - \frac{96 x^{2} + 160 x - 128}{\left(4 x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0.75$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{4 x - 3} \left(- 3 x^{2} + - 5 x + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{4 x - 3} \left(- 3 x^{2} + - 5 x + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4 - 5*x - 3*x^2)/(4*x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + - 5 x + 4}{x \left(4 x - 3\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{3 x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + - 5 x + 4}{x \left(4 x - 3\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - \frac{3 x}{4}$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{4 x - 3} \left(- 3 x^{2} + - 5 x + 4\right) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 4}{- 4 x - 3}$$
- Нет
$$\frac{1}{4 x - 3} \left(- 3 x^{2} + - 5 x + 4\right) = - \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 4}{- 4 x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной