График функции y = (x^2-6*x+13)/(x-6)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2           
       x  - 6*x + 13
f(x) = -------------
           x - 6    
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 6}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 6$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 6*x + 13)/(x - 6).
$$\frac{1}{-6} \left(0^{2} - 0 + 13\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{13}{6}$$
Точка:
(0, -13/6)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x - 6}{x - 6} - \frac{x^{2} - 6 x + 13}{\left(x - 6\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{13} + 6$$
$$x_{2} = \sqrt{13} + 6$$
Зн. экстремумы в точках:
                     /                  2           \  
                ____ |      /      ____\        ____|  
       ____  -\/ 13 *\-23 + \6 - \/ 13 /  + 6*\/ 13 /  
(6 - \/ 13, -----------------------------------------)
                                 13                    

                    /                  2           \ 
               ____ |      /      ____\        ____| 
       ____  \/ 13 *\-23 + \6 + \/ 13 /  - 6*\/ 13 / 
(6 + \/ 13, ---------------------------------------)
                                13                   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \sqrt{13} + 6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{13} + 6$$
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(13) + 6] U [sqrt(13) + 6, oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(13) + 6, sqrt(13) + 6]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 6} \left(2 - \frac{4 x - 12}{x - 6} + \frac{1}{\left(x - 6\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 12 x + 26\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 6$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 6}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 6*x + 13)/(x - 6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x \left(x - 6\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x \left(x - 6\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 6} = \frac{x^{2} + 6 x + 13}{- x - 6}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 6} = - \frac{x^{2} + 6 x + 13}{- x - 6}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной