График функции y = (6*x^2-x^3)^(1/3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          ___________
       3 /    2    3 
f(x) = \/  6*x  - x  
$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 - 2 \sqrt[3]{-1} + 2 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (6*x^2 - x^3)^(1/3).
$$\sqrt[3]{6 \cdot 0^{2} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- x^{2} + 4 x}{\left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
       2/3 
(4, 2*2   )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках
(-oo, 4]

Возрастает на промежутках
[4, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{\left(- x + 6\right)^{\frac{2}{3}} \left|{x}\right|^{\frac{4}{3}}} \left(2 x - 4 + \frac{2 \left(x - 4\right)^{2}}{- x + 6}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (6*x^2 - x^3)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}}\right) = \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \sqrt[3]{-1} x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}} = \sqrt[3]{x^{3} + 6 x^{2}}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{- x^{3} + 6 x^{2}} = - \sqrt[3]{x^{3} + 6 x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной