График функции y = (x^2+2*x+1)/(x-2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2          
       x  + 2*x + 1
f(x) = ------------
          x - 2    
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.999999476181$$
$$x_{2} = -1.00000038065$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 2*x + 1)/(x - 2).
$$\frac{1}{-2} \left(0^{2} + 0 \cdot 2 + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{2}$$
Точка:
(0, -1/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x + 2}{x - 2} - \frac{x^{2} + 2 x + 1}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)

(5, 12)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Убывает на промежутках
(-oo, -1] U [5, oo)

Возрастает на промежутках
[-1, 5]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 2} \left(2 - \frac{4 x + 4}{x - 2} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(2 x^{2} + 4 x + 2\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 2*x + 1)/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{- x - 2}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2} = - \frac{x^{2} - 2 x + 1}{- x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной