График y = f(x) = sqrt(2*cos(x))/2 (квадратный корень из (2 умножить на косинус от (х)) делить на 2) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = sqrt(2*cos(x))/2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         __________
       \/ 2*cos(x) 
f(x) = ------------
            2      
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(2*cos(x))/2.
$$\frac{\sqrt{2 \cos{\left(0 \right)}}}{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Точка:
(0, sqrt(2)/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)}}{4 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
      ___ 
    \/ 2  
(0, -----)
      2   

         ___ 
     I*\/ 2  
(pi, -------)
        2    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sqrt{2} \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}} + 2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}\right)}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) = \sqrt{2} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \sqrt{2} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) = \sqrt{2} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \sqrt{2} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(2*cos(x))/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2}$$
- Да
$$\frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2} = - \frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}}{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = sqrt(2*cos(x))/2 /media/krcore-image-pods/1/80/1323fec38021e2fd1fffeb5df2c6b.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: