Точки, в которых функция точно неопределена: $$x_{1} = -2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 1/((x + 2)^2). $$\frac{1}{2^{2}}$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{4}$$ Точка:
(0, 1/4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\frac{- 2 x - 4}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{6}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть: $$x_{1} = -2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = 0$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: $$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/((x + 2)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = \frac{1}{\left(- x + 2\right)^{2}}$$ - Нет $$\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = - \frac{1}{\left(- x + 2\right)^{2}}$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной