График функции y = x^3+5*sqrt(x)+7

        3       ___    
f(x) = x  + 5*\/ x  + 7

$$f{\left (x \right )} = 5 \sqrt{x} + x^{3} + 7$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$5 \sqrt{x} + x^{3} + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 5*sqrt(x) + 7.
$$0^{3} + 5 \sqrt{0} + 7$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 7$$
Точка:

(0, 7)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} + \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 x - \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{5}}}{12} \sqrt[5]{432}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[432**(1/5)*5**(2/5)/12, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 432**(1/5)*5**(2/5)/12]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 \sqrt{x} + x^{3} + 7\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 \sqrt{x} + x^{3} + 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 5*sqrt(x) + 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(5 \sqrt{x} + x^{3} + 7\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(5 \sqrt{x} + x^{3} + 7\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$5 \sqrt{x} + x^{3} + 7 = - x^{3} + 5 \sqrt{- x} + 7$$
- Нет
$$5 \sqrt{x} + x^{3} + 7 = - -1 x^{3} - 5 \sqrt{- x} - 7$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной