График функции y = 2*x-2+8/((x+1)^2)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
                    8    
f(x) = 2*x - 2 + --------
                        2
                 (x + 1) 
$$f{\left (x \right )} = 2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{6 \sqrt{57} + 46} - \frac{1}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{6 \sqrt{57} + 46}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.13039543476728$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x - 2 + 8/(x + 1)^2.
$$-2 + 0 \cdot 2 + \frac{8}{1^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:
(0, 6)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 16 x - 16}{\left(x + 1\right)^{4}} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 1]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{48}{\left(x + 1\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x - 2 + 8/(x + 1)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}} = - 2 x - 2 + \frac{8}{\left(- x + 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$2 x - 2 + \frac{8}{\left(x + 1\right)^{2}} = - -1 \cdot 2 x + 2 - \frac{8}{\left(- x + 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной