График функции y = 1-(4*x-x^2-3)^(1/2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
              ______________
             /        2     
f(x) = 1 - \/  4*x - x  - 3 
$$f{\left (x \right )} = - \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - sqrt(4*x - x^2 - 3).
$$1 - \sqrt{-3 + 0 \cdot 4 - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1 - \sqrt{3} i$$
Точка:
(0, 1 - i*sqrt(3))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{- x + 2}{\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(2, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x - 3} + 1}{\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \infty i$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - sqrt(4*x - x^2 - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1\right)\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1\right)\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - i x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1 = - \sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} + 1$$
- Нет
$$- \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} + 1 = - -1 \sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной