График функции y = (x^2+8)/(x+2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2    
       x  + 8
f(x) = ------
       x + 2 
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 8}{x + 2}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 8}{x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 8)/(x + 2).
$$\frac{1}{2} \left(0^{2} + 8\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x}{x + 2} - \frac{x^{2} + 8}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{3} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
                     /                  2\ 
                 ___ |    /         ___\ | 
          ___  \/ 3 *\8 + \-2 + 2*\/ 3 / / 
(-2 + 2*\/ 3, ---------------------------)
                            6              

                      /                  2\  
                  ___ |    /         ___\ |  
          ___  -\/ 3 *\8 + \-2 - 2*\/ 3 / /  
(-2 - 2*\/ 3, -----------------------------)
                             6               


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2 + 2 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \sqrt{3} - 2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2*sqrt(3) - 2] U [-2 + 2*sqrt(3), oo)

Возрастает на промежутках
[-2*sqrt(3) - 2, -2 + 2*sqrt(3)]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 2} \left(- \frac{4 x}{x + 2} + 2 + \frac{2 x^{2} + 16}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x + 2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x + 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8)/(x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 8}{x + 2} = \frac{x^{2} + 8}{- x + 2}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 8}{x + 2} = - \frac{x^{2} + 8}{- x + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной