График функции y = (x^2-6*x+9)/(x-1)^2
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2
x - 6*x + 9
f(x) = ------------
2
(x - 1)
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.99999961935$$
$$x_{2} = 3.00000052382$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.99999961935$$
$$x_{2} = 3.00000052382$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 6*x + 9)/(x - 1)^2.
$$\frac{1}{\left(-1\right)^{2}} \left(0^{2} - 0 + 9\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 9$$
Точка:
подставляем x = 0 в (x^2 - 6*x + 9)/(x - 1)^2.
$$\frac{1}{\left(-1\right)^{2}} \left(0^{2} - 0 + 9\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 9$$
Точка:
(0, 9)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} \left(- 2 x + 2\right) \left(x^{2} - 6 x + 9\right) + \frac{2 x - 6}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} \left(- 2 x + 2\right) \left(x^{2} - 6 x + 9\right) + \frac{2 x - 6}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(3, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[3, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 3]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 4]
Выпуклая на промежутках
[4, oo)
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 6*x + 9)/(x - 1)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} + 6 x + 9}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной