Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8 x - 24}{x - 1} + 2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(6 x^{2} - 36 x + 54\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 4]
Выпуклая на промежутках
[4, oo)