График y = f(x) = x^2-9/x (х в квадрате минус 9 делить на х) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x^2-9/x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2   9
f(x) = x  - -
            x
$$f{\left (x \right )} = x^{2} - \frac{9}{x}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} - \frac{9}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.08008382305$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 9/x.
$$0^{2} - \tilde{\infty}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x + \frac{9}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
   2/3     3 ___ 
 -6      9*\/ 6  
(------, -------)
   2        2    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-6**(2/3)/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -6**(2/3)/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(1 - \frac{9}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 - \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 - \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3**(2/3), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 3**(2/3)]
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 9/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - \frac{9}{x}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - \frac{9}{x}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} - \frac{9}{x} = x^{2} + \frac{9}{x}$$
- Нет
$$x^{2} - \frac{9}{x} = - x^{2} - \frac{9}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: