График функции y = x^3-3*x^2-5*x

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3      2      
f(x) = x  - 3*x  - 5*x
$$f{\left (x \right )} = - 5 x + x^{3} - 3 x^{2}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 5 x + x^{3} - 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{29}}{2} + \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4.19258240357$$
$$x_{3} = -1.19258240357$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 3*x^2 - 5*x.
$$0^{3} - 0 - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - 6 x - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1 + \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} + 1$$
Зн. экстремумы в точках:
                                3                  2            
         ___       /        ___\      /        ___\         ___ 
     2*\/ 6        |    2*\/ 6 |      |    2*\/ 6 |    10*\/ 6  
(1 + -------, -5 + |1 + -------|  - 3*|1 + -------|  - --------)
        3          \       3   /      \       3   /       3     

                                3                  2            
         ___       /        ___\      /        ___\         ___ 
     2*\/ 6        |    2*\/ 6 |      |    2*\/ 6 |    10*\/ 6  
(1 - -------, -5 + |1 - -------|  - 3*|1 - -------|  + --------)
        3          \       3   /      \       3   /       3     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1 + \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} + 1$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2*sqrt(6)/3 + 1] U [1 + 2*sqrt(6)/3, oo)

Возрастает на промежутках
[-2*sqrt(6)/3 + 1, 1 + 2*sqrt(6)/3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 5 x + x^{3} - 3 x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x + x^{3} - 3 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 - 5*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 5 x + x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 5 x + x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 5 x + x^{3} - 3 x^{2} = - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$$
- Нет
$$- 5 x + x^{3} - 3 x^{2} = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - 5 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной