График функции y = 2*x^4-9*x^2+7

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
          4      2    
f(x) = 2*x  - 9*x  + 7
$$f{\left (x \right )} = 2 x^{4} - 9 x^{2} + 7$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{4} - 9 x^{2} + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1.87082869339$$
$$x_{3} = 1.87082869339$$
$$x_{4} = -1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^4 - 9*x^2 + 7.
$$2 \cdot 0^{4} - 0 + 7$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 7$$
Точка:
(0, 7)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$8 x^{3} - 18 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3/2, -25/8)

(0, 7)

(3/2, -25/8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках
[-3/2, 0] U [3/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -3/2] U [0, 3/2]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(4 x^{2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)/2] U [sqrt(3)/2, oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(3)/2, sqrt(3)/2]
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{4} - 9 x^{2} + 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{4} - 9 x^{2} + 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^4 - 9*x^2 + 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{4} - 9 x^{2} + 7\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{4} - 9 x^{2} + 7\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{4} - 9 x^{2} + 7 = 2 x^{4} - 9 x^{2} + 7$$
- Да
$$2 x^{4} - 9 x^{2} + 7 = - 2 x^{4} - - 9 x^{2} - 7$$
- Нет
значит, функция
является
чётной