График функции y = (|-1/x+3|)+5

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
       |  1    |    
f(x) = |- - + 3| + 5
       |  x    |    
$$f{\left (x \right )} = \left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |-1/x + 3| + 5.
$$\left|{- \tilde{\infty} + 3}\right| + 5$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \left|{\tilde{\infty}}\right| + 5$$
Точка:
(0, 5 + |±oo|)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}{\left (3 - \frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5\right) = 8$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 8$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5\right) = 8$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 8$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |-1/x + 3| + 5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5 = \left|{3 + \frac{1}{x}}\right| + 5$$
- Нет
$$\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| + 5 = - \left|{3 + \frac{1}{x}}\right| - 5$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной