График функции y = (x^2)^(1/3)-(x^2+1)^(1/3)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
          ____      ________
       3 /  2    3 /  2     
f(x) = \/  x   - \/  x  + 1 
$$f{\left (x \right )} = - \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2)^(1/3) - (x^2 + 1)^(1/3).
$$- \sqrt[3]{0^{2} + 1} + \sqrt[3]{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{3 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2)^(1/3) - (x^2 + 1)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}} = - \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}}$$
- Да
$$- \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{x^{2}} = - -1 \sqrt[3]{x^{2} + 1} - \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной