График функции y = log((2+x)/(2-x))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          /2 + x\
f(x) = log|-----|
          \2 - x/
$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log((2 + x)/(2 - x)).
$$\log{\left (\frac{2}{- 0 + 2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x + 2} \left(- x + 2\right) \left(\frac{1}{- x + 2} + \frac{x + 2}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 2} \left(1 - \frac{x + 2}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{1}{x + 2} \left(1 - \frac{x + 2}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{x + 2} \left(1 - \frac{x + 2}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )} = i \pi$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = i \pi$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )} = i \pi$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = i \pi$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log((2 + x)/(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )} = \log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\frac{x + 2}{- x + 2} \right )} = - \log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной