График y = f(x) = (x^2+20)/(x-4) ((х в квадрате плюс 20) делить на (х минус 4)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = (x^2+20)/(x-4)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2     
       x  + 20
f(x) = -------
        x - 4 
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 20}{x - 4}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 4$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 20}{x - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 20)/(x - 4).
$$\frac{0^{2} + 20}{-4}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -5$$
Точка:
(0, -5)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x - 4} - \frac{x^{2} + 20}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 10$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -4)

(10, 20)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 10$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[10, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-2, 10\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x - 4} + 1 + \frac{x^{2} + 20}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)}{x - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 4$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 20}{x - 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 20}{x - 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 20)/(x - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 20}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 20}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 20}{x - 4} = \frac{x^{2} + 20}{- x - 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 20}{x - 4} = - \frac{x^{2} + 20}{- x - 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x^2+20)/(x-4) /media/krcore-image-pods/4/4f/dda578d6856d4b3094e2aac20a69c.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: