Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная$$\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right) = - 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (3 \right )}$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right) = - 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (3 \right )}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[exp(-2), oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, exp(-2)]