График функции y = (log(1/3)/log(x))

       log(1/3)
f(x) = --------
        log(x) 

$$f{\left (x \right )} = \frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(1/3)/log(x).
$$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right) = - 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (3 \right )}$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right) = - 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (3 \right )}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[exp(-2), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, exp(-2)]

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1/3)/log(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x \log{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x \log{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (x \right )}} = \frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (- x \right )}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (x \right )}} = - \frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{\log{\left (- x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной