График y = f(x) = x^2*cos(x) (х в квадрате умножить на косинус от (х)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x^2*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2       
f(x) = x *cos(x)
$$f{\left (x \right )} = x^{2} \cos{\left (x \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = 83.2522053201$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -89.5353906273$$
$$x_{11} = 92.6769832809$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = -32.9867228627$$
$$x_{14} = -4.71238898038$$
$$x_{15} = -48.6946861306$$
$$x_{16} = -80.1106126665$$
$$x_{17} = -42.4115008235$$
$$x_{18} = -58.1194640914$$
$$x_{19} = 1.57079632679$$
$$x_{20} = -95.8185759345$$
$$x_{21} = 17.2787595947$$
$$x_{22} = 95.8185759345$$
$$x_{23} = -36.1283155163$$
$$x_{24} = -64.4026493986$$
$$x_{25} = 36.1283155163$$
$$x_{26} = -61.261056745$$
$$x_{27} = -92.6769832809$$
$$x_{28} = 32.9867228627$$
$$x_{29} = -14.1371669412$$
$$x_{30} = 80.1106126665$$
$$x_{31} = 4.71238898038$$
$$x_{32} = 10.9955742876$$
$$x_{33} = 7.85398163397$$
$$x_{34} = 23.5619449019$$
$$x_{35} = -39.2699081699$$
$$x_{36} = 64.4026493986$$
$$x_{37} = -73.8274273594$$
$$x_{38} = 20.4203522483$$
$$x_{39} = -26.7035375555$$
$$x_{40} = -83.2522053201$$
$$x_{41} = -98.9601685881$$
$$x_{42} = 48.6946861306$$
$$x_{43} = 29.8451302091$$
$$x_{44} = 14.1371669412$$
$$x_{45} = 98.9601685881$$
$$x_{46} = -45.5530934771$$
$$x_{47} = -51.8362787842$$
$$x_{48} = -67.5442420522$$
$$x_{49} = 54.9778714378$$
$$x_{50} = 26.7035375555$$
$$x_{51} = -86.3937979737$$
$$x_{52} = -20.4203522483$$
$$x_{53} = -7.85398163397$$
$$x_{54} = -76.9690200129$$
$$x_{55} = 89.5353906273$$
$$x_{56} = -10.9955742876$$
$$x_{57} = -1.57079632679$$
$$x_{58} = -23.5619449019$$
$$x_{59} = 73.8274273594$$
$$x_{60} = 70.6858347058$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = 42.4115008235$$
$$x_{63} = 67.5442420522$$
$$x_{64} = 58.1194640914$$
$$x_{65} = -29.8451302091$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*cos(x).
$$0^{2} \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- x^{2} \sin{\left (x \right )} + 2 x \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -97.4099011707$$
$$x_{2} = 94.2689923093$$
$$x_{3} = -75.4247339745$$
$$x_{4} = 3.64359716743$$
$$x_{5} = 25.2119030642$$
$$x_{6} = 22.0814757673$$
$$x_{7} = -59.7237354324$$
$$x_{8} = -69.1439554765$$
$$x_{9} = 72.2842925037$$
$$x_{10} = 78.5652673846$$
$$x_{11} = -53.4444796698$$
$$x_{12} = 34.6152330552$$
$$x_{13} = 31.4793749203$$
$$x_{14} = -40.889577766$$
$$x_{15} = -72.2842925037$$
$$x_{16} = -31.4793749203$$
$$x_{17} = 53.4444796698$$
$$x_{18} = -94.2689923093$$
$$x_{19} = 84.8465692433$$
$$x_{20} = -37.7520396346$$
$$x_{21} = 75.4247339745$$
$$x_{22} = -56.5839987379$$
$$x_{23} = -9.6295603433$$
$$x_{24} = 37.7520396346$$
$$x_{25} = 18.9546817665$$
$$x_{26} = -28.3447768698$$
$$x_{27} = -6.57833373272$$
$$x_{28} = -25.2119030642$$
$$x_{29} = -84.8465692433$$
$$x_{30} = 1.07687398631$$
$$x_{31} = -100.550852725$$
$$x_{32} = -62.8636572287$$
$$x_{33} = -66.0037377708$$
$$x_{34} = 59.7237354324$$
$$x_{35} = -50.3052188363$$
$$x_{36} = 50.3052188363$$
$$x_{37} = 91.1281305511$$
$$x_{38} = 15.8336114149$$
$$x_{39} = -34.6152330552$$
$$x_{40} = -3.64359716743$$
$$x_{41} = -12.7222987718$$
$$x_{42} = 9.6295603433$$
$$x_{43} = 12.7222987718$$
$$x_{44} = -87.9873209347$$
$$x_{45} = 66.0037377708$$
$$x_{46} = 87.9873209347$$
$$x_{47} = 69.1439554765$$
$$x_{48} = -22.0814757673$$
$$x_{49} = -1.07687398631$$
$$x_{50} = 56.5839987379$$
$$x_{51} = 6.57833373272$$
$$x_{52} = 97.4099011707$$
$$x_{53} = 81.705882148$$
$$x_{54} = 62.8636572287$$
$$x_{55} = -78.5652673846$$
$$x_{56} = 28.3447768698$$
$$x_{57} = -47.1662676028$$
$$x_{58} = -15.8336114149$$
$$x_{59} = -91.1281305511$$
$$x_{60} = -18.9546817665$$
$$x_{61} = 40.889577766$$
$$x_{62} = 100.550852725$$
$$x_{63} = -44.0276918992$$
$$x_{64} = 0$$
$$x_{65} = 44.0276918992$$
$$x_{66} = 47.1662676028$$
$$x_{67} = -81.705882148$$
Зн. экстремумы в точках:
(-97.4099011707, -9486.68947818992)

(94.2689923093, 8884.64358592955)

(-75.4247339745, 5686.89154919726)

(3.64359716743, -11.6378292117556)

(25.2119030642, 633.649446194351)

(22.0814757673, -485.603793917741)

(-59.7237354324, -3564.92625455388)

(-69.1439554765, 4778.88783305817)

(72.2842925037, -5223.02009034704)

(78.5652673846, -6170.50221074225)

(-53.4444796698, -2854.3145053339)

(34.6152330552, -1196.21935302944)

(31.4793749203, 988.957079867956)

(-40.889577766, -1669.96115135336)

(-72.2842925037, -5223.02009034704)

(-31.4793749203, 988.957079867956)

(53.4444796698, -2854.3145053339)

(-94.2689923093, 8884.64358592955)

(84.8465692433, -7196.94114542992)

(-37.7520396346, 1423.22069663783)

(75.4247339745, 5686.89154919726)

(-56.5839987379, 3199.75078519348)

(-9.6295603433, -90.7908960221418)

(37.7520396346, 1423.22069663783)

(18.9546817665, 357.296507493256)

(-28.3447768698, -801.433812963046)

(-6.57833373272, 41.4032422108864)

(-25.2119030642, 633.649446194351)

(-84.8465692433, -7196.94114542992)

(1.07687398631, 0.549774025605499)

(-100.550852725, 10108.4745770583)

(-62.8636572287, 3949.84091716867)

(-66.0037377708, -4354.4947759217)

(59.7237354324, -3564.92625455388)

(-50.3052188363, 2528.6174100174)

(50.3052188363, 2528.6174100174)

(91.1281305511, -8302.3368999697)

(15.8336114149, -248.726869289185)

(-34.6152330552, -1196.21935302944)

(-3.64359716743, -11.6378292117556)

(-12.7222987718, 159.893208545431)

(9.6295603433, -90.7908960221418)

(12.7222987718, 159.893208545431)

(-87.9873209347, 7739.76941994706)

(66.0037377708, -4354.4947759217)

(87.9873209347, 7739.76941994706)

(69.1439554765, 4778.88783305817)

(-22.0814757673, -485.603793917741)

(-1.07687398631, 0.549774025605499)

(56.5839987379, 3199.75078519348)

(6.57833373272, 41.4032422108864)

(97.4099011707, -9486.68947818992)

(81.705882148, 6673.85207590209)

(62.8636572287, 3949.84091716867)

(-78.5652673846, -6170.50221074225)

(28.3447768698, -801.433812963046)

(-47.1662676028, -2222.65949258718)

(-15.8336114149, -248.726869289185)

(-91.1281305511, -8302.3368999697)

(-18.9546817665, 357.296507493256)

(40.889577766, -1669.96115135336)

(100.550852725, 10108.4745770583)

(-44.0276918992, 1936.44074393829)

(0, 0)

(44.0276918992, 1936.44074393829)

(47.1662676028, -2222.65949258718)

(-81.705882148, 6673.85207590209)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{67} = -97.4099011707$$
$$x_{67} = 3.64359716743$$
$$x_{67} = 22.0814757673$$
$$x_{67} = -59.7237354324$$
$$x_{67} = 72.2842925037$$
$$x_{67} = 78.5652673846$$
$$x_{67} = -53.4444796698$$
$$x_{67} = 34.6152330552$$
$$x_{67} = -40.889577766$$
$$x_{67} = -72.2842925037$$
$$x_{67} = 53.4444796698$$
$$x_{67} = 84.8465692433$$
$$x_{67} = -9.6295603433$$
$$x_{67} = -28.3447768698$$
$$x_{67} = -84.8465692433$$
$$x_{67} = -66.0037377708$$
$$x_{67} = 59.7237354324$$
$$x_{67} = 91.1281305511$$
$$x_{67} = 15.8336114149$$
$$x_{67} = -34.6152330552$$
$$x_{67} = -3.64359716743$$
$$x_{67} = 9.6295603433$$
$$x_{67} = 66.0037377708$$
$$x_{67} = -22.0814757673$$
$$x_{67} = 97.4099011707$$
$$x_{67} = -78.5652673846$$
$$x_{67} = 28.3447768698$$
$$x_{67} = -47.1662676028$$
$$x_{67} = -15.8336114149$$
$$x_{67} = -91.1281305511$$
$$x_{67} = 40.889577766$$
$$x_{67} = 0$$
$$x_{67} = 47.1662676028$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{67} = 94.2689923093$$
$$x_{67} = -75.4247339745$$
$$x_{67} = 25.2119030642$$
$$x_{67} = -69.1439554765$$
$$x_{67} = 31.4793749203$$
$$x_{67} = -31.4793749203$$
$$x_{67} = -94.2689923093$$
$$x_{67} = -37.7520396346$$
$$x_{67} = 75.4247339745$$
$$x_{67} = -56.5839987379$$
$$x_{67} = 37.7520396346$$
$$x_{67} = 18.9546817665$$
$$x_{67} = -6.57833373272$$
$$x_{67} = -25.2119030642$$
$$x_{67} = 1.07687398631$$
$$x_{67} = -100.550852725$$
$$x_{67} = -62.8636572287$$
$$x_{67} = -50.3052188363$$
$$x_{67} = 50.3052188363$$
$$x_{67} = -12.7222987718$$
$$x_{67} = 12.7222987718$$
$$x_{67} = -87.9873209347$$
$$x_{67} = 87.9873209347$$
$$x_{67} = 69.1439554765$$
$$x_{67} = -1.07687398631$$
$$x_{67} = 56.5839987379$$
$$x_{67} = 6.57833373272$$
$$x_{67} = 81.705882148$$
$$x_{67} = 62.8636572287$$
$$x_{67} = -18.9546817665$$
$$x_{67} = 100.550852725$$
$$x_{67} = -44.0276918992$$
$$x_{67} = 44.0276918992$$
$$x_{67} = -81.705882148$$
Убывает на промежутках
[97.4099011707, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -97.4099011707]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- x^{2} \cos{\left (x \right )} - 4 x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -45.640594976$$
$$x_{2} = 8.31398471094$$
$$x_{3} = 17.5048370447$$
$$x_{4} = -95.8602882034$$
$$x_{5} = -23.7295255625$$
$$x_{6} = 14.4104316198$$
$$x_{7} = -86.4400521937$$
$$x_{8} = -80.1604867056$$
$$x_{9} = 86.4400521937$$
$$x_{10} = 39.3712875521$$
$$x_{11} = -70.7423403204$$
$$x_{12} = -29.9780699666$$
$$x_{13} = 23.7295255625$$
$$x_{14} = 67.6033676126$$
$$x_{15} = -36.2384169135$$
$$x_{16} = 83.3002013673$$
$$x_{17} = -8.31398471094$$
$$x_{18} = 99.000558669$$
$$x_{19} = -20.6129075026$$
$$x_{20} = -48.7765781423$$
$$x_{21} = -17.5048370447$$
$$x_{22} = -92.7201071561$$
$$x_{23} = -39.3712875521$$
$$x_{24} = -99.000558669$$
$$x_{25} = 0.599741421028$$
$$x_{26} = 92.7201071561$$
$$x_{27} = -67.6033676126$$
$$x_{28} = 89.5800249069$$
$$x_{29} = 70.7423403204$$
$$x_{30} = 77.0209248042$$
$$x_{31} = 55.0504523208$$
$$x_{32} = 73.881535066$$
$$x_{33} = -89.5800249069$$
$$x_{34} = 95.8602882034$$
$$x_{35} = -61.3262239939$$
$$x_{36} = 45.640594976$$
$$x_{37} = -5.38572965403$$
$$x_{38} = 42.505433483$$
$$x_{39} = 64.4646492227$$
$$x_{40} = -64.4646492227$$
$$x_{41} = -33.1071774729$$
$$x_{42} = -77.0209248042$$
$$x_{43} = -51.9132353686$$
$$x_{44} = 29.9780699666$$
$$x_{45} = -83.3002013673$$
$$x_{46} = 58.1881390859$$
$$x_{47} = 20.6129075026$$
$$x_{48} = 33.1071774729$$
$$x_{49} = -0.599741421028$$
$$x_{50} = 11.3396400694$$
$$x_{51} = -42.505433483$$
$$x_{52} = -2.68896749918$$
$$x_{53} = -11.3396400694$$
$$x_{54} = 26.8518211351$$
$$x_{55} = -73.881535066$$
$$x_{56} = 48.7765781423$$
$$x_{57} = -58.1881390859$$
$$x_{58} = 36.2384169135$$
$$x_{59} = -26.8518211351$$
$$x_{60} = 61.3262239939$$
$$x_{61} = 5.38572965403$$
$$x_{62} = -14.4104316198$$
$$x_{63} = -55.0504523208$$
$$x_{64} = 2.68896749918$$
$$x_{65} = 51.9132353686$$
$$x_{66} = 80.1604867056$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[95.8602882034, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -99.000558669]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \cos{\left (x \right )} = x^{2} \cos{\left (x \right )}$$
- Да
$$x^{2} \cos{\left (x \right )} = - x^{2} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: