График функции y = 5*x^2-15*x-4

Вы ввели

          2           
f(x) = 5*x  - 15*x - 4

$$f{\left (x \right )} = 5 x^{2} - 15 x - 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$5 x^{2} - 15 x - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{305}}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{305}}{10} + \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.246424919657$$
$$x_{2} = 3.24642491966$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 5*x^2 - 15*x - 4.
$$-4 + 5 \cdot 0^{2} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$10 x - 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(3/2, -61/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$10 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 x^{2} - 15 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{2} - 15 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 5*x^2 - 15*x - 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(5 x^{2} - 15 x - 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(5 x^{2} - 15 x - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$5 x^{2} - 15 x - 4 = 5 x^{2} + 15 x - 4$$
- Нет
$$5 x^{2} - 15 x - 4 = - 5 x^{2} - 15 x + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной