График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2 = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3/3 - 11*x^2/2 + 30*x + 2. $$\frac{0^{3}}{3} - 0 + 0 \cdot 30 + 2$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 2$$ Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$x^{2} - 11 x + 30 = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 5$$ $$x_{2} = 6$$ Зн. экстремумы в точках:
(5, 337/6)
(6, 56)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{2} = 6$$ Максимумы функции в точках: $$x_{2} = 5$$ Убывает на промежутках
(-oo, 5] U [6, oo)
Возрастает на промежутках
[5, 6]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$2 x - 11 = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = \frac{11}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[11/2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 11/2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 11*x^2/2 + 30*x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2 = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} - 30 x + 2$$ - Нет $$30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - - \frac{11 x^{2}}{2} - - 30 x - 2$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной