График функции y = x^3/3-11/2*x^2+30*x+2

        3       2           
       x    11*x            
f(x) = -- - ----- + 30*x + 2
       3      2             

$$f{\left (x \right )} = 30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \sqrt{7077} + \frac{18171}{8}} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{27 \sqrt{7077} + \frac{18171}{8}}} + \frac{11}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.0658680806411$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 - 11*x^2/2 + 30*x + 2.
$$\frac{0^{3}}{3} - 0 + 0 \cdot 30 + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} - 11 x + 30 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:

(5, 337/6)

(6, 56)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5$$
Убывает на промежутках

(-oo, 5] U [6, oo)

Возрастает на промежутках

[5, 6]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 x - 11 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[11/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 11/2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 11*x^2/2 + 30*x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2 = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} - 30 x + 2$$
- Нет
$$30 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{11 x^{2}}{2} + 2 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - - \frac{11 x^{2}}{2} - - 30 x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной