График функции y = (-(x^2-2*x+2))/(x-1)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          2           
       - x  - -2*x - 2
f(x) = ---------------
            x - 1     
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 1} \left(- x^{2} - - 2 x - 2\right)$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x - 1} \left(- x^{2} - - 2 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-x^2 - (-1)*2*x - 2)/(x - 1).
$$\frac{1}{-1} \left(-2 + - 0 - 0\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 2 x + 2}{x - 1} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- x^{2} - - 2 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)

(2, -2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
[0, 2]

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 1} \left(2 - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 4 x + 4\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x - 1} \left(- x^{2} - - 2 x - 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x - 1} \left(- x^{2} - - 2 x - 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^2 - (-1)*2*x - 2)/(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} - - 2 x - 2}{x \left(x - 1\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - - 2 x - 2}{x \left(x - 1\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x - 1} \left(- x^{2} - - 2 x - 2\right) = \frac{- x^{2} - 2 x - 2}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{1}{x - 1} \left(- x^{2} - - 2 x - 2\right) = - \frac{- x^{2} - 2 x - 2}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной