График функции y = (Abs(cos(x)))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = |cos(x)|
$$f{\left (x \right )} = \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = 83.2522053201$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -89.5353906273$$
$$x_{11} = 92.6769832809$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = -32.9867228627$$
$$x_{14} = 17.2787595947$$
$$x_{15} = -48.6946861306$$
$$x_{16} = -80.1106126665$$
$$x_{17} = -42.4115008235$$
$$x_{18} = -58.1194640914$$
$$x_{19} = 1.57079632679$$
$$x_{20} = -95.8185759345$$
$$x_{21} = 95.8185759345$$
$$x_{22} = -36.1283155163$$
$$x_{23} = -64.4026493986$$
$$x_{24} = -61.261056745$$
$$x_{25} = -92.6769832809$$
$$x_{26} = 32.9867228627$$
$$x_{27} = -14.1371669412$$
$$x_{28} = 80.1106126665$$
$$x_{29} = 4.71238898038$$
$$x_{30} = 10.9955742876$$
$$x_{31} = 7.85398163397$$
$$x_{32} = 23.5619449019$$
$$x_{33} = -39.2699081699$$
$$x_{34} = 64.4026493986$$
$$x_{35} = -73.8274273594$$
$$x_{36} = 14.1371669412$$
$$x_{37} = -26.7035375555$$
$$x_{38} = -83.2522053201$$
$$x_{39} = -98.9601685881$$
$$x_{40} = 48.6946861306$$
$$x_{41} = 98.9601685881$$
$$x_{42} = -45.5530934771$$
$$x_{43} = -51.8362787842$$
$$x_{44} = -67.5442420522$$
$$x_{45} = 54.9778714378$$
$$x_{46} = 26.7035375555$$
$$x_{47} = -86.3937979737$$
$$x_{48} = -20.4203522483$$
$$x_{49} = -7.85398163397$$
$$x_{50} = -4.71238898038$$
$$x_{51} = -76.9690200129$$
$$x_{52} = 89.5353906273$$
$$x_{53} = -10.9955742876$$
$$x_{54} = -1.57079632679$$
$$x_{55} = -23.5619449019$$
$$x_{56} = 73.8274273594$$
$$x_{57} = 70.6858347058$$
$$x_{58} = 29.8451302091$$
$$x_{59} = 42.4115008235$$
$$x_{60} = 67.5442420522$$
$$x_{61} = 20.4203522483$$
$$x_{62} = -29.8451302091$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(cos(x)).
$$\left|{\cos{\left (0 \right )}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (x \right )} \operatorname{sign}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -62.8318530718$$
$$x_{2} = -94.2477796077$$
$$x_{3} = 31.4159265359$$
$$x_{4} = 81.6814089933$$
$$x_{5} = 84.8230016469$$
$$x_{6} = -53.407075111$$
$$x_{7} = 65.9734457254$$
$$x_{8} = 223.053078405$$
$$x_{9} = 15.7079632679$$
$$x_{10} = 100.530964915$$
$$x_{11} = 50.2654824574$$
$$x_{12} = -3.14159265359$$
$$x_{13} = 40.8407044967$$
$$x_{14} = -59.6902604182$$
$$x_{15} = 97.3893722613$$
$$x_{16} = 78.5398163397$$
$$x_{17} = -25.1327412287$$
$$x_{18} = -43.9822971503$$
$$x_{19} = 25.1327412287$$
$$x_{20} = -358.141562509$$
$$x_{21} = 62.8318530718$$
$$x_{22} = -28.2743338823$$
$$x_{23} = -91.1061869541$$
$$x_{24} = 87.9645943005$$
$$x_{25} = 69.115038379$$
$$x_{26} = -34.5575191895$$
$$x_{27} = 28.2743338823$$
$$x_{28} = -31.4159265359$$
$$x_{29} = 37.6991118431$$
$$x_{30} = 684.867198483$$
$$x_{31} = 72.2566310326$$
$$x_{32} = 56.5486677646$$
$$x_{33} = -75.3982236862$$
$$x_{34} = -69.115038379$$
$$x_{35} = -6.28318530718$$
$$x_{36} = -9.42477796077$$
$$x_{37} = 6.28318530718$$
$$x_{38} = 75.3982236862$$
$$x_{39} = -65.9734457254$$
$$x_{40} = -87.9645943005$$
$$x_{41} = -72.2566310326$$
$$x_{42} = -295.309709437$$
$$x_{43} = 18.8495559215$$
$$x_{44} = -84.8230016469$$
$$x_{45} = 9.42477796077$$
$$x_{46} = -50.2654824574$$
$$x_{47} = -430.398193542$$
$$x_{48} = -56.5486677646$$
$$x_{49} = -12.5663706144$$
$$x_{50} = -182.212373908$$
$$x_{51} = 91.1061869541$$
$$x_{52} = 59.6902604182$$
$$x_{53} = -47.1238898038$$
$$x_{54} = 12.5663706144$$
$$x_{55} = -116.238928183$$
$$x_{56} = -81.6814089933$$
$$x_{57} = -18.8495559215$$
$$x_{58} = 3.14159265359$$
$$x_{59} = -37.6991118431$$
$$x_{60} = -97.3893722613$$
$$x_{61} = 94.2477796077$$
$$x_{62} = 34.5575191895$$
$$x_{63} = -21.9911485751$$
$$x_{64} = 21.9911485751$$
$$x_{65} = -100.530964915$$
$$x_{66} = 53.407075111$$
$$x_{67} = -78.5398163397$$
$$x_{68} = 0$$
$$x_{69} = 43.9822971503$$
$$x_{70} = -40.8407044967$$
$$x_{71} = -15.7079632679$$
$$x_{72} = 47.1238898038$$
Зн. экстремумы в точках:
(-62.8318530718, 1)

(-94.2477796077, 1)

(31.4159265359, 1)

(81.6814089933, 1)

(84.8230016469, 1)

(-53.407075111, 1)

(65.9734457254, 1)

(223.053078405, 1)

(15.7079632679, 1)

(100.530964915, 1)

(50.2654824574, 1)

(-3.14159265359, 1)

(40.8407044967, 1)

(-59.6902604182, 1)

(97.3893722613, 1)

(78.5398163397, 1)

(-25.1327412287, 1)

(-43.9822971503, 1)

(25.1327412287, 1)

(-358.141562509, 1)

(62.8318530718, 1)

(-28.2743338823, 1)

(-91.1061869541, 1)

(87.9645943005, 1)

(69.115038379, 1)

(-34.5575191895, 1)

(28.2743338823, 1)

(-31.4159265359, 1)

(37.6991118431, 1)

(684.867198483, 1)

(72.2566310326, 1)

(56.5486677646, 1)

(-75.3982236862, 1)

(-69.115038379, 1)

(-6.28318530718, 1)

(-9.42477796077, 1)

(6.28318530718, 1)

(75.3982236862, 1)

(-65.9734457254, 1)

(-87.9645943005, 1)

(-72.2566310326, 1)

(-295.309709437, 1)

(18.8495559215, 1)

(-84.8230016469, 1)

(9.42477796077, 1)

(-50.2654824574, 1)

(-430.398193542, 1)

(-56.5486677646, 1)

(-12.5663706144, 1)

(-182.212373908, 1)

(91.1061869541, 1)

(59.6902604182, 1)

(-47.1238898038, 1)

(12.5663706144, 1)

(-116.238928183, 1)

(-81.6814089933, 1)

(-18.8495559215, 1)

(3.14159265359, 1)

(-37.6991118431, 1)

(-97.3893722613, 1)

(94.2477796077, 1)

(34.5575191895, 1)

(-21.9911485751, 1)

(21.9911485751, 1)

(-100.530964915, 1)

(53.407075111, 1)

(-78.5398163397, 1)

(0, 1)

(43.9822971503, 1)

(-40.8407044967, 1)

(-15.7079632679, 1)

(47.1238898038, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{72} = -62.8318530718$$
$$x_{72} = -94.2477796077$$
$$x_{72} = 31.4159265359$$
$$x_{72} = 81.6814089933$$
$$x_{72} = 84.8230016469$$
$$x_{72} = -53.407075111$$
$$x_{72} = 65.9734457254$$
$$x_{72} = 223.053078405$$
$$x_{72} = 15.7079632679$$
$$x_{72} = 100.530964915$$
$$x_{72} = 50.2654824574$$
$$x_{72} = -3.14159265359$$
$$x_{72} = 40.8407044967$$
$$x_{72} = -59.6902604182$$
$$x_{72} = 97.3893722613$$
$$x_{72} = 78.5398163397$$
$$x_{72} = -25.1327412287$$
$$x_{72} = -43.9822971503$$
$$x_{72} = 25.1327412287$$
$$x_{72} = -358.141562509$$
$$x_{72} = 62.8318530718$$
$$x_{72} = -28.2743338823$$
$$x_{72} = -91.1061869541$$
$$x_{72} = 87.9645943005$$
$$x_{72} = 69.115038379$$
$$x_{72} = -34.5575191895$$
$$x_{72} = 28.2743338823$$
$$x_{72} = -31.4159265359$$
$$x_{72} = 37.6991118431$$
$$x_{72} = 684.867198483$$
$$x_{72} = 72.2566310326$$
$$x_{72} = 56.5486677646$$
$$x_{72} = -75.3982236862$$
$$x_{72} = -69.115038379$$
$$x_{72} = -6.28318530718$$
$$x_{72} = -9.42477796077$$
$$x_{72} = 6.28318530718$$
$$x_{72} = 75.3982236862$$
$$x_{72} = -65.9734457254$$
$$x_{72} = -87.9645943005$$
$$x_{72} = -72.2566310326$$
$$x_{72} = -295.309709437$$
$$x_{72} = 18.8495559215$$
$$x_{72} = -84.8230016469$$
$$x_{72} = 9.42477796077$$
$$x_{72} = -50.2654824574$$
$$x_{72} = -430.398193542$$
$$x_{72} = -56.5486677646$$
$$x_{72} = -12.5663706144$$
$$x_{72} = -182.212373908$$
$$x_{72} = 91.1061869541$$
$$x_{72} = 59.6902604182$$
$$x_{72} = -47.1238898038$$
$$x_{72} = 12.5663706144$$
$$x_{72} = -116.238928183$$
$$x_{72} = -81.6814089933$$
$$x_{72} = -18.8495559215$$
$$x_{72} = 3.14159265359$$
$$x_{72} = -37.6991118431$$
$$x_{72} = -97.3893722613$$
$$x_{72} = 94.2477796077$$
$$x_{72} = 34.5575191895$$
$$x_{72} = -21.9911485751$$
$$x_{72} = 21.9911485751$$
$$x_{72} = -100.530964915$$
$$x_{72} = 53.407075111$$
$$x_{72} = -78.5398163397$$
$$x_{72} = 0$$
$$x_{72} = 43.9822971503$$
$$x_{72} = -40.8407044967$$
$$x_{72} = -15.7079632679$$
$$x_{72} = 47.1238898038$$
Убывает на промежутках
(-oo, -430.398193542]

Возрастает на промежутках
[684.867198483, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|$$
- Да
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = - \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|$$
- Нет
значит, функция
является
чётной