График функции y = sqrt(x)*exp(-x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
         ___  -x
f(x) = \/ x *e  
$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x} e^{- x}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x} e^{- x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x)*exp(-x).
$$\sqrt{0} e^{- 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sqrt{x} e^{- x} + \frac{e^{- x}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
        ___  -1/2 
      \/ 2 *e     
(1/2, -----------)
           2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 1/2]

Возрастает на промежутках
[1/2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{- x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/2 + sqrt(2)/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/2 + sqrt(2)/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} e^{- x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} e^{- x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x)*exp(-x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x}}{\sqrt{x}}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \infty i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x}}{\sqrt{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x} e^{- x} = \sqrt{- x} e^{x}$$
- Нет
$$\sqrt{x} e^{- x} = - \sqrt{- x} e^{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной