График функции y = (|x-2|)/x^2

Вы ввели

       |x - 2|
f(x) = -------
           2  
          x   

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2}} \left|{x - 2}\right|$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x^{2}} \left|{x - 2}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 2|/x^2.
$$\frac{\left|{-2}\right|}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )} - \frac{2}{x^{3}} \left|{x - 2}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, zoo)

(4, 0.125)

(2, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 4$$
Убывает на промежутках

[2, 4]

Возрастает на промежутках

(-oo, 2] U [4, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left|{x - 2}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left|{x - 2}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 2|/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{3}} \left|{x - 2}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}} \left|{x - 2}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x^{2}} \left|{x - 2}\right| = \frac{1}{x^{2}} \left|{x + 2}\right|$$
- Нет
$$\frac{1}{x^{2}} \left|{x - 2}\right| = - \frac{1}{x^{2}} \left|{x + 2}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной