График функции y = -(1/4)*((x^3)-(3*x^2)+4)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        / 3      2    \ 
       -\x  - 3*x  + 4/ 
f(x) = -----------------
               4        
$$f{\left (x \right )} = - \frac{1}{4} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{4} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -(x^3 - 3*x^2 + 4)/4.
$$- \frac{1}{4} \left(0^{3} - 0 + 4\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)

(2, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
[0, 2]

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{2} \left(- 3 x + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1]

Выпуклая на промежутках
[1, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{4} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -(x^3 - 3*x^2 + 4)/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{4 x} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{4} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} - 1$$
- Нет
$$- \frac{1}{4} \left(x^{3} - 3 x^{2} + 4\right) = - \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{4} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной