График функции y = x^4-4*x^3-8*x+1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        4      3          
f(x) = x  - 4*x  - 8*x + 1
$$f{\left (x \right )} = - 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{14}{3 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}} + 8 + \frac{32}{\sqrt{- \frac{14}{3 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}}}}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}} + \frac{14}{3 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}} + 8 + \frac{32}{\sqrt{- \frac{14}{3 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}}}} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{14}{3 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{5 + \frac{\sqrt{3054}}{9}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 4.40125776509$$
$$x_{2} = 0.124074590455$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 4*x^3 - 8*x + 1.
$$0^{4} - 0 - 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} - 12 x^{2} - 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + 1 + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}$$
Зн. экстремумы в точках:
                                                                                4                                                                              3 
                         ___________       /                        ___________\                          ___________     /                        ___________\  
           1          3 /       ___        |          1          3 /       ___ |          8            3 /       ___      |          1          3 /       ___ |  
(1 + -------------- + \/  2 + \/ 3 , -7 + |1 + -------------- + \/  2 + \/ 3  |  - -------------- - 8*\/  2 + \/ 3   - 4*|1 + -------------- + \/  2 + \/ 3  | )
        ___________                        |       ___________                 |       ___________                        |       ___________                 |  
     3 /       ___                         |    3 /       ___                  |    3 /       ___                         |    3 /       ___                  |  
     \/  2 + \/ 3                          \    \/  2 + \/ 3                   /    \/  2 + \/ 3                          \    \/  2 + \/ 3                   /  


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + 1 + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[(sqrt(3) + 2)**(-1/3) + 1 + (sqrt(3) + 2)**(1/3), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, (sqrt(3) + 2)**(-1/3) + 1 + (sqrt(3) + 2)**(1/3)]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 x \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)

Выпуклая на промежутках
[0, 2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 4*x^3 - 8*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1 = x^{4} + 4 x^{3} + 8 x + 1$$
- Нет
$$- 8 x + x^{4} - 4 x^{3} + 1 = - x^{4} - 4 x^{3} - 8 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной