График функции y = (x+1)/(sqrt(3-x^2))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          x + 1   
f(x) = -----------
          ________
         /      2 
       \/  3 - x  
$$f{\left (x \right )} = \frac{x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)/sqrt(3 - x^2).
$$\frac{1}{\sqrt{- 0 + 3}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Точка:
(0, sqrt(3)/3)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
Зн. экстремумы в точках:
         ___ 
     I*\/ 6  
(-3, -------)
        3    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{- x^{2} + 3} + \frac{x + 1}{- x^{2} + 3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{57}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{57}}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$

$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{- x^{2} + 3} + \frac{x + 1}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -1.58528803089065 \cdot 10^{39}$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{- x^{2} + 3} + \frac{x + 1}{- x^{2} + 3}\right)\right) = -1.58528803089065 \cdot 10^{39}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{- x^{2} + 3} + \frac{x + 1}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 5.91637547591473 \cdot 10^{39}$$
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(- x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{- x^{2} + 3} + \frac{x + 1}{- x^{2} + 3}\right)\right) = 5.91637547591473 \cdot 10^{39}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-9/4 + sqrt(57)/4, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -9/4 + sqrt(57)/4]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - i$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)/sqrt(3 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \sqrt{- x^{2} + 3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \sqrt{- x^{2} + 3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} = \frac{- x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}}$$
- Нет
$$\frac{x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} = - \frac{- x + 1}{\sqrt{- x^{2} + 3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной