График функции y = x-(3/2)*(1-x)^(2/3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                    2/3
           3*(1 - x)   
f(x) = x - ------------
                2      
$$f{\left (x \right )} = x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt[3]{\frac{351}{512} + \frac{27 \sqrt{2}}{32}} + \frac{63}{64 \sqrt[3]{\frac{351}{512} + \frac{27 \sqrt{2}}{32}}} + \frac{9}{8}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.688815704384$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - 3*(1 - x)^(2/3)/2.
$$- \frac{3}{2} \left(- 0 + 1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{3}{2}$$
Точка:
(0, -3/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$1 + \frac{1}{\sqrt[3]{- x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{3 \left(- x + 1\right)^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - 3*(1 - x)^(2/3)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}} = - x - \frac{3}{2} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
$$x - \frac{3}{2} \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}} = - -1 x - - \frac{3}{2} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной