График функции y = 6+4*x-x^2/2-x^3/2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                  2    3
                 x    x 
f(x) = 6 + 4*x - -- - --
                 2    2 
$$f{\left (x \right )} = - \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 6 + 4*x - x^2/2 - x^3/2.
$$- 0 + - 0 + 0 \cdot 4 + 6$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6$$
Точка:
(0, 6)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3 x^{2}}{2} - x + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 0)

      250 
(4/3, ---)
       27 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках
[-2, 4/3]

Возрастает на промежутках
(-oo, -2] U [4/3, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 3 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -1/3]

Выпуклая на промежутках
[-1/3, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6 + 4*x - x^2/2 - x^3/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6 = \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - 4 x + 6$$
- Нет
$$- \frac{x^{3}}{2} + - \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 6 = - \frac{x^{3}}{2} - - \frac{x^{2}}{2} - - 4 x - 6$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной