График функции y = sin(sin(x))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = sin(sin(x))
$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = -6.28318530718$$
$$x_{4} = 81.6814089933$$
$$x_{5} = 84.8230016469$$
$$x_{6} = -53.407075111$$
$$x_{7} = 65.9734457254$$
$$x_{8} = 3.14159265359$$
$$x_{9} = 15.7079632679$$
$$x_{10} = 100.530964915$$
$$x_{11} = 50.2654824574$$
$$x_{12} = -3.14159265359$$
$$x_{13} = 40.8407044967$$
$$x_{14} = -59.6902604182$$
$$x_{15} = 97.3893722613$$
$$x_{16} = 78.5398163397$$
$$x_{17} = -25.1327412287$$
$$x_{18} = -43.9822971503$$
$$x_{19} = 25.1327412287$$
$$x_{20} = -2667.2121629$$
$$x_{21} = 62.8318530718$$
$$x_{22} = 13540.264337$$
$$x_{23} = -91.1061869541$$
$$x_{24} = 87.9645943005$$
$$x_{25} = 69.115038379$$
$$x_{26} = -34.5575191895$$
$$x_{27} = 28.2743338823$$
$$x_{28} = -31.4159265359$$
$$x_{29} = 37.6991118431$$
$$x_{30} = -28.2743338823$$
$$x_{31} = 72.2566310326$$
$$x_{32} = 56.5486677646$$
$$x_{33} = -75.3982236862$$
$$x_{34} = -69.115038379$$
$$x_{35} = 29666.0594278$$
$$x_{36} = -9.42477796077$$
$$x_{37} = 6.28318530718$$
$$x_{38} = 75.3982236862$$
$$x_{39} = -65.9734457254$$
$$x_{40} = -87.9645943005$$
$$x_{41} = -72.2566310326$$
$$x_{42} = 18.8495559215$$
$$x_{43} = -84.8230016469$$
$$x_{44} = 9.42477796077$$
$$x_{45} = -50.2654824574$$
$$x_{46} = -56.5486677646$$
$$x_{47} = 43.9822971503$$
$$x_{48} = 91.1061869541$$
$$x_{49} = 59.6902604182$$
$$x_{50} = -47.1238898038$$
$$x_{51} = 12.5663706144$$
$$x_{52} = -40.8407044967$$
$$x_{53} = -116.238928183$$
$$x_{54} = -81.6814089933$$
$$x_{55} = -18.8495559215$$
$$x_{56} = -12.5663706144$$
$$x_{57} = -37.6991118431$$
$$x_{58} = -97.3893722613$$
$$x_{59} = 94.2477796077$$
$$x_{60} = 34.5575191895$$
$$x_{61} = 109.955742876$$
$$x_{62} = -21.9911485751$$
$$x_{63} = 21.9911485751$$
$$x_{64} = -131.946891451$$
$$x_{65} = -100.530964915$$
$$x_{66} = 53.407075111$$
$$x_{67} = -78.5398163397$$
$$x_{68} = 0$$
$$x_{69} = -62.8318530718$$
$$x_{70} = 2921.68116784$$
$$x_{71} = -15.7079632679$$
$$x_{72} = 47.1238898038$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(sin(x)).
$$\sin{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
 pi         
(--, sin(1))
 2          

 3*pi          
(----, -sin(1))
  2            


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
[pi/2, 3*pi/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 81.6814089933$$
$$x_{3} = 84.8230016469$$
$$x_{4} = 153.938040026$$
$$x_{5} = 65.9734457254$$
$$x_{6} = -53.407075111$$
$$x_{7} = 3.14159265359$$
$$x_{8} = 15.7079632679$$
$$x_{9} = 100.530964915$$
$$x_{10} = 50.2654824574$$
$$x_{11} = -3.14159265359$$
$$x_{12} = 40.8407044967$$
$$x_{13} = -59.6902604182$$
$$x_{14} = 97.3893722613$$
$$x_{15} = 78.5398163397$$
$$x_{16} = -25.1327412287$$
$$x_{17} = -43.9822971503$$
$$x_{18} = -81.6814089933$$
$$x_{19} = 87.9645943005$$
$$x_{20} = -34.5575191895$$
$$x_{21} = 28.2743338823$$
$$x_{22} = -31.4159265359$$
$$x_{23} = -91.1061869541$$
$$x_{24} = 72.2566310326$$
$$x_{25} = 56.5486677646$$
$$x_{26} = -75.3982236862$$
$$x_{27} = -69.115038379$$
$$x_{28} = -6.28318530718$$
$$x_{29} = -9.42477796077$$
$$x_{30} = 6.28318530718$$
$$x_{31} = -65.9734457254$$
$$x_{32} = -87.9645943005$$
$$x_{33} = -72.2566310326$$
$$x_{34} = 18.8495559215$$
$$x_{35} = -84.8230016469$$
$$x_{36} = -50.2654824574$$
$$x_{37} = -2199.11485751$$
$$x_{38} = 59.6902604182$$
$$x_{39} = -47.1238898038$$
$$x_{40} = 2582.38916125$$
$$x_{41} = 12.5663706144$$
$$x_{42} = -62.8318530718$$
$$x_{43} = 62.8318530718$$
$$x_{44} = -21.9911485751$$
$$x_{45} = -37.6991118431$$
$$x_{46} = -97.3893722613$$
$$x_{47} = 94.2477796077$$
$$x_{48} = 34.5575191895$$
$$x_{49} = 21.9911485751$$
$$x_{50} = 37.6991118431$$
$$x_{51} = -78.5398163397$$
$$x_{52} = 0$$
$$x_{53} = 43.9822971503$$
$$x_{54} = -28.2743338823$$
$$x_{55} = -15.7079632679$$
$$x_{56} = 2899.69001926$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2899.69001926, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -97.3893722613]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \tilde{\infty} x \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \tilde{\infty} x \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - -1 \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной