График функции y = 1+sin(x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = 1 + sin(x)
$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -89.5353906059$$
$$x_{2} = 48.694687083$$
$$x_{3} = -58.1194639977$$
$$x_{4} = -70.685833126$$
$$x_{5} = 48.6946866366$$
$$x_{6} = -7.85398119154$$
$$x_{7} = 23.5619451519$$
$$x_{8} = 17.2787599561$$
$$x_{9} = -76.9690203749$$
$$x_{10} = 98.9601692809$$
$$x_{11} = -83.2522048211$$
$$x_{12} = -7.8539820528$$
$$x_{13} = -26.7035372005$$
$$x_{14} = -70.6858343571$$
$$x_{15} = 92.676984344$$
$$x_{16} = 10.9955739382$$
$$x_{17} = 86.3937984838$$
$$x_{18} = -39.2699084146$$
$$x_{19} = 29.8451303232$$
$$x_{20} = -58.1194639046$$
$$x_{21} = 80.1106131369$$
$$x_{22} = -95.8185758681$$
$$x_{23} = -26.7035379987$$
$$x_{24} = -64.4026502976$$
$$x_{25} = -39.269906922$$
$$x_{26} = 17.2787591562$$
$$x_{27} = 48.694687302$$
$$x_{28} = -102.101761026$$
$$x_{29} = 4.71239022927$$
$$x_{30} = -7.85398149665$$
$$x_{31} = 61.2610563112$$
$$x_{32} = 29.8451297031$$
$$x_{33} = 92.6769830592$$
$$x_{34} = -70.6858351534$$
$$x_{35} = 67.5442408279$$
$$x_{36} = 23.561944406$$
$$x_{37} = 54.9778710948$$
$$x_{38} = -32.9867224188$$
$$x_{39} = 98.9601690454$$
$$x_{40} = -45.5530935026$$
$$x_{41} = 29.84513033$$
$$x_{42} = 80.1106122287$$
$$x_{43} = -51.8362786893$$
$$x_{44} = 67.5442423097$$
$$x_{45} = 73.8274274426$$
$$x_{46} = -32.9867232184$$
$$x_{47} = -20.4203520061$$
$$x_{48} = 10.9955747361$$
$$x_{49} = 86.393797887$$
$$x_{50} = -64.4026491641$$
$$x_{51} = 73.8274274831$$
$$x_{52} = -83.2522042894$$
$$x_{53} = 23.5619437709$$
$$x_{54} = 36.1283159497$$
$$x_{55} = 48.6946859012$$
$$x_{56} = -58.1194645939$$
$$x_{57} = 86.3937978309$$
$$x_{58} = -83.2522055723$$
$$x_{59} = -89.5353907502$$
$$x_{60} = -1.57079643189$$
$$x_{61} = 80.1106130902$$
$$x_{62} = -20.4203532659$$
$$x_{63} = 73.8274268521$$
$$x_{64} = 98.9601682516$$
$$x_{65} = 67.5442415587$$
$$x_{66} = -20.4203527465$$
$$x_{67} = -64.4026498988$$
$$x_{68} = -14.1371667858$$
$$x_{69} = 538.783139389$$
$$x_{70} = 42.4115013354$$
$$x_{71} = -51.8362783335$$
$$x_{72} = 42.4115007162$$
$$x_{73} = 42.4115007275$$
$$x_{74} = -45.5530935911$$
$$x_{75} = 92.6769837888$$
$$x_{76} = 61.2610571126$$
$$x_{77} = 4.7123894842$$
$$x_{78} = -89.5353901118$$
$$x_{79} = 36.1283157235$$
$$x_{80} = 36.1283150875$$
$$x_{81} = -1.57079639504$$
$$x_{82} = -45.5530929625$$
$$x_{83} = -76.9690195738$$
$$x_{84} = 4.7123887433$$
$$x_{85} = -14.1371674456$$
$$x_{86} = -14.1371668371$$
$$x_{87} = -39.2699076684$$
$$x_{88} = -95.8185754762$$
$$x_{89} = -51.8362791923$$
$$x_{90} = 54.9778718908$$
$$x_{91} = -95.8185763308$$
$$x_{92} = -1.5707958134$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 + sin(x).
$$\sin{\left (0 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
 pi    
(--, 2)
 2     

 3*pi    
(----, 0)
  2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
[pi/2, 3*pi/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках
[0, pi]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 + sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + 1 = - \sin{\left (x \right )} + 1$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + 1 = - -1 \sin{\left (x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной