График функции y = x^2/(x^3-1)^1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
            2   
           x    
f(x) = ---------
               1
       / 3    \ 
       \x  - 1/ 
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{1}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 9.85841562554 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = -8.43656474654 \cdot 10^{-7}$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/(x^3 - 1)^1.
$$\frac{0^{2}}{\left(-1 + 0^{3}\right)^{1}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3 x^{4}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{3} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

           2/3  
  3 ___  -2     
(-\/ 2, ------)
           3    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
[-2**(1/3), 0]

Возрастает на промежутках
(-oo, -2**(1/3)] U [0, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3} - 1} \left(\frac{18 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{18 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1.89954762695165$$
$$x_{2} = -0.526441130409967$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{x^{3} - 1} \left(\frac{18 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{18 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{x^{3} - 1} \left(\frac{18 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{18 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-1.89954762695165, -0.526441130409967]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -1.89954762695165] U [-0.526441130409967, oo)
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(x^3 - 1)^1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{3} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{3} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{1}} = \frac{x^{2}}{- x^{3} - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{1}} = - \frac{x^{2}}{- x^{3} - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной