График y = f(x) = sin(x+pi/6)+1 (синус от (х плюс число пи делить на 6) плюс 1) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = sin(x+pi/6)+1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /    pi\    
f(x) = sin|x + --| + 1
          \    6 /    
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -39.793507323436$$
$$x_{2} = 16.7551602282542$$
$$x_{3} = -2.09439560156919$$
$$x_{4} = 79.5870133918867$$
$$x_{5} = 4.18879026163738$$
$$x_{6} = 67.0206429182693$$
$$x_{7} = -96.342175215893$$
$$x_{8} = -2537730.37448219$$
$$x_{9} = 85.8701992979325$$
$$x_{10} = -8.37758114523565$$
$$x_{11} = -77.492618271937$$
$$x_{12} = 41.8879015462722$$
$$x_{13} = 35.6047158906949$$
$$x_{14} = -39.7935064774491$$
$$x_{15} = 29.3215317794356$$
$$x_{16} = -64.9262485507945$$
$$x_{17} = 60.7374584698885$$
$$x_{18} = 29.3215315503859$$
$$x_{19} = 60.7374577215862$$
$$x_{20} = -14.6607653773517$$
$$x_{21} = 41.8879022469632$$
$$x_{22} = -71.2094329890238$$
$$x_{23} = -8.37758091239869$$
$$x_{24} = -52.359877344473$$
$$x_{25} = 10.4719760277638$$
$$x_{26} = -20.9439505916939$$
$$x_{27} = -96.3421745028061$$
$$x_{28} = 98.4365697615429$$
$$x_{29} = -58.6430625342279$$
$$x_{30} = 54.4542731772212$$
$$x_{31} = 4.18878981363265$$
$$x_{32} = 73.3038289361328$$
$$x_{33} = -83.7758040750887$$
$$x_{34} = -33.5103217734977$$
$$x_{35} = -64.9262477469699$$
$$x_{36} = 41.8879021371507$$
$$x_{37} = -83.7758044593608$$
$$x_{38} = 79.5870129226152$$
$$x_{39} = 48.1710869517551$$
$$x_{40} = -33.5103215424455$$
$$x_{41} = 92.1533840908503$$
$$x_{42} = -58.6430633250402$$
$$x_{43} = -71.2094337514317$$
$$x_{44} = -8.37758018623408$$
$$x_{45} = -77.4926186337816$$
$$x_{46} = -33.510321121959$$
$$x_{47} = 29.3215309839921$$
$$x_{48} = 79.5870141299736$$
$$x_{49} = 92.1533846224853$$
$$x_{50} = 73.3038281387027$$
$$x_{51} = 60.7374591685857$$
$$x_{52} = -46.0766921860726$$
$$x_{53} = 4.18879066607671$$
$$x_{54} = 67.0206437185101$$
$$x_{55} = 85.8701993668955$$
$$x_{56} = -46.0766927490392$$
$$x_{57} = -14.6607653512222$$
$$x_{58} = 35.6047162396481$$
$$x_{59} = 54.4542726557069$$
$$x_{60} = -39.7935069083105$$
$$x_{61} = 10.4719753854359$$
$$x_{62} = 16.75516131708$$
$$x_{63} = -46.0766920003146$$
$$x_{64} = -52.3598781878037$$
$$x_{65} = -96.3421752381095$$
$$x_{66} = -108.908544294949$$
$$x_{67} = 54.4542725444797$$
$$x_{68} = -83.7758044339049$$
$$x_{69} = -52.3598780642478$$
$$x_{70} = -27.227135835892$$
$$x_{71} = 92.1533849512619$$
$$x_{72} = 23.0383457618207$$
$$x_{73} = 10.4719755542211$$
$$x_{74} = -20.9439513945345$$
$$x_{75} = -46.0766933186229$$
$$x_{76} = 48.1710874369572$$
$$x_{77} = 48.1710878089946$$
$$x_{78} = 23.0383465634668$$
$$x_{79} = -2.09439487552071$$
$$x_{80} = -77.4926189323297$$
$$x_{81} = -14.6607661705898$$
$$x_{82} = 35.604716971914$$
$$x_{83} = -2.09439502413559$$
$$x_{84} = -90.0589898961183$$
$$x_{85} = 16.7551605638403$$
$$x_{86} = -27.2271365938325$$
$$x_{87} = 85.870198694467$$
$$x_{88} = -90.0589893488743$$
$$x_{89} = -90.058989127203$$
$$x_{90} = 16.7551615795837$$
$$x_{91} = -83.775803621544$$
$$x_{92} = 98.4365697036444$$
$$x_{93} = 98.4365703264027$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x + pi/6) + 1.
$$\sin{\left(\frac{\pi}{6} \right)} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}$$
Точка:
(0, 3/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
 pi         /pi   pi\ 
(--, 1 + sin|-- + --|)
 3          \3    6 / 

 4*pi         /pi   pi\ 
(----, 1 - sin|-- + --|)
  3           \3    6 / 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{4 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x + pi/6) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = 1 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 = \sin{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = sin(x+pi/6)+1 /media/krcore-image-pods/7/89/b3c43aafd0a24e479638d25b15b5a.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: