График функции y = x*e^-x^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
            2
          -x 
f(x) = x*E   
$$f{\left (x \right )} = e^{- x^{2}} x$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x^{2}} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^(-x^2).
$$0 e^{- 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
    ___      ___  -1/2  
 -\/ 2    -\/ 2 *e      
(-------, -------------)
    2           2       

   ___    ___  -1/2 
 \/ 2   \/ 2 *e     
(-----, -----------)
   2         2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2] U [sqrt(2)/2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 x \left(2 x^{2} - 3\right) e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-sqrt(6)/2, 0] U [sqrt(6)/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(6)/2] U [0, sqrt(6)/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x^{2}} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x^{2}} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(-x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- x^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- x^{2}} x = - x e^{- x^{2}}$$
- Нет
$$e^{- x^{2}} x = - -1 x e^{- x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной