График функции y = x^3-12*x^2+36*x

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3       2       
f(x) = x  - 12*x  + 36*x
$$f{\left (x \right )} = 36 x + x^{3} - 12 x^{2}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$36 x + x^{3} - 12 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 12*x^2 + 36*x.
$$0^{3} - 0 + 0 \cdot 36$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - 24 x + 36 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:
(2, 32)

(6, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
(-oo, 2] U [6, oo)

Возрастает на промежутках
[2, 6]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[4, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 4]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(36 x + x^{3} - 12 x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(36 x + x^{3} - 12 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 12*x^2 + 36*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(36 x + x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(36 x + x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$36 x + x^{3} - 12 x^{2} = - x^{3} - 12 x^{2} - 36 x$$
- Нет
$$36 x + x^{3} - 12 x^{2} = - -1 x^{3} - - 12 x^{2} - - 36 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной