График функции y = (8*x^2+1)/(x-1)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          2    
       8*x  + 1
f(x) = --------
        x - 1  
$$f{\left (x \right )} = \frac{8 x^{2} + 1}{x - 1}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x^{2} + 1}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (8*x^2 + 1)/(x - 1).
$$\frac{1}{-1} \left(8 \cdot 0^{2} + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{16 x}{x - 1} - \frac{8 x^{2} + 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 1$$
Зн. экстремумы в точках:
                      /                   2\ 
                      |      /        ___\ | 
                  ___ |      |    3*\/ 2 | | 
         ___  2*\/ 2 *|1 + 8*|1 + -------| | 
     3*\/ 2           \      \       4   / / 
(1 + -------, ------------------------------)
        4                   3                

                       /                   2\ 
                       |      /        ___\ | 
                   ___ |      |    3*\/ 2 | | 
         ___  -2*\/ 2 *|1 + 8*|1 - -------| | 
     3*\/ 2            \      \       4   / / 
(1 - -------, -------------------------------)
        4                    3                


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 1$$
Убывает на промежутках
(-oo, -3*sqrt(2)/4 + 1] U [1 + 3*sqrt(2)/4, oo)

Возрастает на промежутках
[-3*sqrt(2)/4 + 1, 1 + 3*sqrt(2)/4]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 1} \left(- \frac{32 x}{x - 1} + 16 + \frac{16 x^{2} + 2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2} + 1}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + 1}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (8*x^2 + 1)/(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2} + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 8$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 8 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 8$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 8 x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{8 x^{2} + 1}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{8 x^{2} + 1}{x - 1} = - \frac{8 x^{2} + 1}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной