График функции y = x^2*log(x)/x

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
        2       
       x *log(x)
f(x) = ---------
           x    
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2}}{x} \log{\left (x \right )}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{x} \log{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2*log(x))/x.
$$\frac{\mathrm{NaN}}{0} 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(2 x \log{\left (x \right )} + x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:
  -1    -1 
(e , -e  )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{-1}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[exp(-1), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, exp(-1)]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x} \log{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x} \log{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2*log(x))/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (x \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (x \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{x} \log{\left (x \right )} = - x \log{\left (- x \right )}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{x} \log{\left (x \right )} = - -1 x \log{\left (- x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной