График функции y = e^(4/(x-1))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          4  
        -----
        x - 1
f(x) = E     
$$f{\left (x \right )} = e^{\frac{4}{x - 1}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\frac{4}{x - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(4/(x - 1)).
$$e^{\frac{4}{-1}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = e^{-4}$$
Точка:
(0, exp(-4))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{4 e^{\frac{4}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{8 e^{\frac{4}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(1 + \frac{2}{x - 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 e^{\frac{4}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(1 + \frac{2}{x - 1}\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 e^{\frac{4}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(1 + \frac{2}{x - 1}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -1]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{4}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{4}{x - 1}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(4/(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{\frac{4}{x - 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{\frac{4}{x - 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\frac{4}{x - 1}} = e^{\frac{4}{- x - 1}}$$
- Нет
$$e^{\frac{4}{x - 1}} = - e^{\frac{4}{- x - 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной