График функции y = (x^2+1)^2/(x^2-1)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
               2
       / 2    \ 
       \x  + 1/ 
f(x) = ---------
          2     
         x  - 1 
$$f{\left (x \right )} = \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 1)^2/(x^2 - 1).
$$\frac{\left(0^{2} + 1\right)^{2}}{-1 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{4 x \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)

    ___    
(-\/ 3, 8)

   ___    
(\/ 3, 8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(3), 0] U [sqrt(3), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(3)] U [0, sqrt(3)]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(12 x^{2} - \frac{16 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 4 - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 1)^2/(x^2 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1} = \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1}$$
- Да
$$\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1} = - \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} - 1}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной