График функции y = 4/p*(p+2)

Вы ввели

       4        
f(p) = -*(p + 2)
       p        

$$f{\left (p \right )} = \frac{4}{p} \left(p + 2\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$p_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось P при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4}{p} \left(p + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью P:

Аналитическое решение
$$p_{1} = -2$$
Численное решение
$$p_{1} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда p равняется 0:
подставляем p = 0 в (4/p)*(p + 2).
$$2 \frac{4}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d p} f{\left (p \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d p} f{\left (p \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{4}{p} - \frac{1}{p^{2}} \left(4 p + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left (p \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left (p \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{p^{2}} \left(-8 + \frac{1}{p} \left(8 p + 16\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$p_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при p->+oo и p->-oo
$$\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{4}{p} \left(p + 2\right)\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 4$$
$$\lim_{p \to \infty}\left(\frac{4}{p} \left(p + 2\right)\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 4$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4/p)*(p + 2), делённой на p при p->+oo и p ->-oo
$$\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p^{2}} \left(4 p + 8\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p^{2}} \left(4 p + 8\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-p) и f = -f(-p).
Итак, проверяем:
$$\frac{4}{p} \left(p + 2\right) = - \frac{1}{p} \left(- 4 p + 8\right)$$
- Нет
$$\frac{4}{p} \left(p + 2\right) = - \frac{1}{p} \left(4 p - 8\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной